文/關品方
筆者近日一直關心今年獲得菲爾茲獎的兩位中國數學家王虹和鄧煜。他們在純粹數學理論方面的成果有什麼產業應用，相信讀者們有興趣知道。
數學家鄧煜的核心突破是嚴格完成了從微觀牛頓粒子系統到玻爾茲曼方程再到納維–斯托克斯流體方程的完整長時間尺度推導。通俗的說法是，他建立了從「微觀粒子碰撞」到「宏觀流體流動」嚴謹的數學橋樑。他的研究成果屬於基礎理論突破，不會立刻直接生成工業產品。但它建立了各類流體仿真底層理論，提升了極端條件下模擬的可信度，從而降低大量相關業界科研（氣動力學、大氣科學）的試驗成本。
最直接的賽道是航空航天產業。高超聲速飛行器、載人飛船再入大氣層模擬方面，當航天器重返大氣時、臨近空間飛行器的飛行區域屬於稀薄氣體，不滿足常規流體方程假設，傳統的仿真測試誤差極大。玻爾茲曼方程是稀薄氣流計算的核心工具。鄧煜的理論保障跨尺度模型長期演化的數學「自洽」（self fulfilled），優化氣動熱和阻力的預測，減少昂貴風洞試驗的次數。
另外可以對超低軌衛星軌道的氣動阻力進行預估。超低軌道大氣極其稀薄，精準測算大氣阻力，可以延長衛星在軌維持有效壽命，又可以應用到計算航空發動機內部的高溫氣體和湍流仿真，優化燃燒室設計、抑制有害湍流，提升燃油效率。
在半導體和微電子高端製造方面（即光刻機產業鏈）亦有應用場景。光刻機、刻蝕機腔體內部是高真空稀薄氣體環境，鍍膜、刻蝕工藝依賴粒子輸運仿真。
鄧煜的理論支撐納米尺度腔體內部粒子運動建模，可以改善晶圓表面工藝的均勻性，助力先進製程（2nm、3nm）的裝備研發，支撐真空設備、MEMS微機電系統設計。
此外還可以應用到可控核聚變能源產業。托卡馬克內部的等離子體，可以視其為帶電粒子的氣體，動理學（玻爾茲曼類方程）是核心模擬工具。鄧煜發展的多粒子長時間碰撞分析框架，可以模擬等離子體約束和邊界粒子流失，預測等離子體的不穩定性，優化核聚變堆腔體與偏濾器設計，是商業化核聚變產生能源的重要理論支撐。
此外還可以應用到新能源、先進材料和電化學產業，包括鋰電池電解液內部的離子擴散和輸運過程，高分子、多孔材料內部的氣體和液體滲透，氫能儲運、高壓容器內多相（multi phase）流體模擬，推動跨尺度材料仿真，加速新型儲能材料的研發。在氣象、氣候和海洋工程方面，因為大氣的本質是海量分子構成的流體，當前天氣預報、極端風暴預測最大難點之一就是湍流（turbulence，錢學森早期在加州理工正是研究湍流理論）。現在鄧煜這套數學理論完善了流體方程的底層邏輯，中長期有助於改進大氣湍流模型，提升極端天氣預報的精度（颱風、強對流，例如「白海豚」、編號2613，剛在上月27日形成）。最後是應用到衍生的前沿方向，包括等離子工業和生物醫藥，例如等離子清洗、等離子醫療設備仿真、微流控芯片（生物實驗室芯片）內部的微量液體流動模擬。
總而言之，鄧煜的數學理論突破有長期價值。它統一了物理學的底層邏輯，證明宏觀不可逆的流體規律源自微觀可逆牛頓力學，完善了統計物理根基，創造了一套處理「海量粒子長時間反覆碰撞」全新數學工具（累積量展開、碰撞圖切割方法），不局限於氣體，可以遷移到波湍流、非線性波動系統（光學、水聲、通信波動仿真）。
筆者早前的文章已重點介紹王虹和韋東奕的合作，因此本文重點介紹鄧煜。韋東奕今年雖未獲獎，其實他在流體穩定性研究偏向於宏觀流體和流動轉捩，重點是轉化和應用多於基礎性理論。鄧煜的基礎性理論打通了微觀粒子與宏觀流體之間的橋樑。筆者個人估計，韋東奕（昵稱「韋神」）在這方面的應用和轉化，將來或會又有突破。
至於王虹，她的領域是調和分析及幾何測度論，是純數學理論，工程直接應用的周期更長，可能影響更深遠。
筆者皇仁書院的同窗陳繁昌是世界知名的數學家之一，曾出任兩所大學的校長。記得他當年諗大學本科時，放棄在港大讀醫科、到加州理工讀純粹數學（有別於應用數學）。純數和應數的關係其實相當密切。王韋二人的合作就是明證，不排除將來韋鄧二人亦會合作。
去年2月，王虹和加拿大英屬哥倫比亞大學（UBC）的學者合作發表論文，直接證明掛谷猜想成立的維數不多不少就是3（三維），一步到位。過去百多年來的相關論文，也許各自不無道理，但通俗點說都是瞎扯淡。陶哲軒（現今在世最偉大的數學家之一）認為這是一個驚人的突破。陶哲軒是菲爾茲獎兩位華人得主之一（另一位是丘成桐，來自香港的培正中文中學）。筆者下周會有文章介紹陶哲軒（Terence TAO）。
王虹純數學的突破性證明，有什麼應用場景？掛谷猜想並不是一個孤立的謎題，它是一座金字塔的地基。我們智能手機裏面的每一張照片，每一段音頻，包括出現在屏幕上筆者這篇文章，都靠傅立葉的數學分析理論來壓縮和處理。它的原理是把任何信號拆解成一堆波的疊加，而波是沿着直線傳播的，它攜帶的能量就是集中在細長的一根根管子裏面，和三維掛谷問題裏面的那些鉛筆（或針頭等細長的東西）在模型上是同一個概念。所有在同一方向上的管子最少只佔多少空間？這個問題直接決定波的這個能量密度究竟能有多密？干涉最劇烈能到什麼程度？通俗的解釋是：內裝芯片可以有多細小？手機運作怎樣可以避免在操作過程中因負荷過重突然爆炸？
波在空間裏面交織會干涉出一個個能量高峰，就像海浪疊加出一個又一個巨浪（同頻共振，resonance）。這個巨浪到底會有多大？在設計核磁共振或者進行振波探勘的時候，人類必須模擬這個波的行為。在模擬的過程中，我們會擔心不知道這堆波在最極端的情況下，能量重疊時的峰值會不會趨近無限大，導致信號大爆炸、算法崩潰、手機斷線、或者突發降速成為信號黑洞？王虹所證明的三維掛谷問題，用數學語言來表述，就是三維掛谷集合（set matrix）的維度（dimension）必須是三。
對互聯網架構師來說，當流量從全方向湧入的時候，它的架構所能提供的最大對沖能力是多少？知道這個，才可以指導設計最不容易癱瘓的網絡節點。另外，對下一代AI脈衝神經網絡硬件而言，在渠道容量固定的情況下，多路徑的數據流能夠被擠壓到多密的一個極限程度？
我們能否設定一個安全的系數極限？今天的數據AI互聯網發展，最大的挑戰是在有限的體積裏面試圖容納無數複雜的觸角，要建立這樣一個系統。不論是摩爾定律還是韜定律，要解決的正正就是這個關鍵問題。王虹的研究是在純幾何（純數學）的宇宙裏，為所有具備這一類特徵的三維系統畫出一條牢不可破的數學紅線。
在這條數學紅線之內，系統的內在剛性是完美的，可以放心地把存儲性能推向極致。這條紅線原來早就畫好了，不需要我們再耗費無謂的精力去試圖超越它或者改變它。這就是筆者理解的王虹三維猜想證明對高新科技各領域擴闊邊界的意義。它的影響將會相當久遠。
王虹和韋東奕、鄧煜不同。她的經歷和路徑並非源自天才數學神童。她是廣西桂林市平樂縣人，2007年（16歲）考進北大，開始時不是讀數學，後來才轉往數學學院。本科後她去了法國，讀的是工程師，認真考慮過轉行去做建築；最後才確定自己真正想做的是純粹數學。她在麻省理工收穫博士，隨後走進紐約大學的科朗研究所。
菲爾茲獎（數學領域的諾貝爾獎）有一條著名的硬規定，得獎者必須在40歲以下，4年一度，每次獲獎者不超過4人。那是因為默認數學是年輕人的地盤，是年輕人的閃電戰，年紀大了就很難出成果。但也無需搶跑。王虹的故事說明，重要的不是搶先跑出（贏在起跑線），不是安居樂業（什麼最賺錢），而是找對跑道。她說，自己繞過路、轉換過方向、懷疑過自己，但最後還是出成果了。
中國籍數學家零的突破，從王虹和鄧煜開始。此前拿過菲爾茲獎的華人只有丘成桐和陶哲軒，他們都不是中國籍。王虹和鄧煜的突破當然是里程碑，他們本科的根雖然是在北京大學，但開花結果卻是在紐約和芝加哥。頂尖的學術科研成果從來不是一面國旗的獨奏，而是良好的跨國土壤、優秀的老師、契合的同行，再加上一個不肯放過的頂流問題，堅持不斷去求索。行文至此，筆者還要提到另外一位、清華的姚期智。他的「姚班」的成就，筆者上周已有另文介紹。
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