文/老檀
我們來玩個遊戲，三十秒，你只需要會加法和乘法就行。
隨便想一個數字，規則就兩條，你想的這個數，如果是偶數，那就除以二；如果是奇數，那就乘以三再加一。好，開始，比如我們想的這個數，是7。7是奇數，那就乘以三再加一，得到22；現在變成偶數了，根據剛才的規則，偶數就除以二，得到11；又是奇數了，那就乘三加一，34；按照這兩條簡單規則繼續下去，我們會依次得到17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、1。
落到1了。我們暫停。再換個數試試，你的生日也好，你身份證後幾位也好，我可以跟你打賭：不管你選哪個數，按照這兩條簡單規則，算到最後，一定會得到4、2、1，而且這還是個坑，一旦落進去，就再也出不來。
不信你現在就暫停一下，拿起筆，隨便挑個數，算一算，看是不是這樣。
那問題來了：為什麼？任何一個數都逃不掉嗎？
這道題，叫考拉茲猜想，由德國數學家洛薩·考拉茲（Lothar Collatz）1937年提出，題目簡單吧？你剛才10秒鐘就聽懂了，而且親手驗證了。可是快一百年過去了，全世界最聰明的大腦，包括好幾位菲爾茲獎得主，沒有一個人能證明它。數學怪才保羅·埃爾德什（Paul Erdős）對此有句名言流傳至今，說：「數學還沒有為這種問題做好準備。」
這樣數學難題，至少有5道。它們都有一個共同點，也是數學裏最詭異的一種存在：題目簡單到小學生能聽懂，答案難到天才也難以做出來，一卡就是一百年、兩百年。
有意思的是，這5道超級難題的關鍵性突破，其中有4道，都有華人數學家的身影。
開場玩的那個遊戲，就是第一題，考拉茲猜想，我們接着往下講。
我們再來飛快複習一遍：你隨便想任何一個正整數，如果是偶數就除以二，如果是奇數就乘以三再加一，不斷重複這個過程，最終都會落回1。
任何一個正整數嗎，對，任何一個正整數。你可能會想：現在超級計算機這麼快，全試一遍不就行了？你想得不錯，人類真這麼幹了。到今天，從1開始往上，一直到2的68次方，大約是「29萬億億」，這以內的每一個數，全部驗證過，無一例外，最後結果全部掉回4、2、1。
聽到這你可能會想，那不就證明了嗎？沒有。這裏，咱們要來接收本片的第一個關鍵的數學觀念，後面每道題都會用到，是什麼呢？那就是：驗證再多，也不是證明。因為題目問的是「所有數」，而什麼叫「所有」？「所有」就是無限。你也許會問，這都驗證到了29萬億億個，剩下的數是不是就少很多了？並沒有，剩下的數還有無限個。聽到這，是不是很絕望，因為即使再驗證一百個、一萬個、乃至29萬億億個29萬億億，剩下的數呢？還有無限個。只要有一個沒排除，在數學上，這就叫沒證明。
看來一個數一個數這麼驗證，這條路走不通，那這個猜想豈不是沒法證明了？人類還真找到了一些辦法，而且是頂級大腦找到的。2019年，菲爾茲獎得主、也是華人陶哲軒，咱們之前講過他，在世最偉大數學家，數學界公認的一哥，他用一個高深的方法，證明出了一個結果，轟動了學界。他的突破是什麼呢？
他的突破可以用8個字概括：「幾乎所有，幾乎達1」。
8個字聽起來既簡單、又深奧，到底是什麼意思呢？用數學語言表達大意是：對於幾乎所有的正整數，在數學概率上趨近於100%，其序列的最終最小值，都會遠遠小於這個數字本身，甚至有將近100%概率跌到只剩下個位數，甚至就是1。
聽起來很接近了對吧？但「幾乎所有」和「所有」之間，隔着一條深不見底的鴻溝。日本一家公司懸賞1.2億日元、也就是差不多73萬美元，來徵解證明之道，至今無人領走。
很離譜吧？由於這個猜想極易理解卻極難證明，所以，1937年德國數學家考拉茲提出後，圍繞它還產生了許多奇聞軼事：比如，一九六幾年，這猜想傳播到了美國許多著名大學，許多教授、研究生天天挑燈夜戰，沉迷於這個問題無法自拔，該做的工作嚴重落後，所以當時數學界甚至有個傳言：「這個猜想是蘇聯的心理戰武器，目的是為了癱瘓美國數學家的研究工作，阻礙美國的科學發展。」你看，這道題難到這種程度，都成了陰謀論武器了。
這個難題，還有個著名外號，叫冰雹猜想Hailstone numbers，為什麼叫冰雹猜想呢？想想，剛才我們推演的那個數字7，它在迭代過程中起起伏伏，像不像積雨雲中的冰雹，被氣流一下推高，一下又掉落，但不管在空中折騰得多高多久，最終都像冰雹，啪嗒一聲掉到地上，變成1。
還有個數字27，你可以試試它的考拉茲迭代過程，這個更奇特，需要足足111次上下起伏、中間會衝到峰值9232，才會逐步落到1。
有意思吧？二年級小學生都能聽懂的題，快一百年了，無解。記住這個感覺，我們看第二題，這道更狠，卡了快三百年。
第二題，是哥德巴赫猜想。華人觀眾對這道題有特殊感情，但絕大多數人一直誤會它。有人以為「哥德巴赫猜想就是證明1+1=2」，完全不是。但真正的題面，你同樣一分鐘能聽懂。
先記住，數學上有種數叫質數，也就是只能被1和自己整除的數，比如2、3、5、7、11、13。
記住了質數之後，我們再來看故事。1742年，東方還是清代乾隆七年，當時普魯士有位數學家哥德巴赫，給數學大神歐拉寫信，歐拉是瑞士人，和阿基米德、牛頓、高斯，並稱為史上最偉大的四位數學家，哥德巴赫提了一個觀察：任何一個大於2的偶數，都能拆成兩個質數之和。
就這一句，著名的哥德巴赫猜想，就說完了。簡單吧？你又可以自己驗證了：8等於3加5；20等於7加13；100等於3加97。隨便挑，一定拆得出來。
歐拉，這位人類四大數學家之一，給哥德巴赫回信說：我相信這是對的，但我證不出來。連大神歐拉都不行，其他數學家只好先證明弱化版，比如先證明「9+9」，再證明「3+3」，到1965年，進展到證明出了「1+3」。
在數學家那裏，這種「質數+質數」的證明，就被簡化成了證明「1+1」，第一個1，代表一個質數，或是只有1個質因數的數，後一個1，代表另一個質數，1+1的真正含意，是一個偶數可以寫成「一個質數+一個質數」。
1966年，陳景潤成功突破到了「1+2」，這是關鍵一步，1966到今年，60年過去了，證明「1+1」仍然遙不可及。
為什麼聽着這麼簡單的「1+1」，就這麼難呢？三百年了，都搞不定？到底難在哪兒？
帶着這個疑問，我們來看第三題，我們能在這裏找到一點線索。而且，第三道難題的主角，也是一位超級厲害的華人數學家，他的破解過程，比小說還戲劇。
第三道難題，題面照例一分鐘能懂。這次又是質數，而且是成對出現的，它們之間只相差2，比如3和5，5和7，11和13，17和19。這種叫孿生質數，孿生什麼意思？雙胞胎嘛，Twins，出生就相差兩秒鐘；孿生質數（Twin Primes）指的是相差為2的兩個質數。
好，第三道百年難題來了：孿生質數，有無窮多對嗎？
古希臘時，人類就知道了：質數本身有無限多個，2300年前，古希臘最偉大的數學家、幾何學之父歐幾里得，就證明出來了。
人類兩千多年前就知道「質數有無限多個」，可是，孿生質數是不是有無窮多對，這事，兩千年，進展一直是零。
直到2013年，傳奇一幕發生了。一位掃地僧般的人物，登場了。
這位掃地僧，叫張益唐，那年他已經58歲了，他是北大數學系出身，博士畢業後在美國潦倒多年，租不起房，只能睡在汽車裏，在賽百味快餐店當會計收銀，都是臨時工，44歲才在一間普通大學，謀到一個非編制的講師職位，教微積分。
當了13年老師後，也57快60歲了，2012年暑假，他去一位朋友家作客，朋友跟他說，我這裏沒別的，只是有時候能在後院看到鹿。為什麼後院能看到鹿呢？因為這位朋友，家在科羅拉多州，那是美國的西部山區，野生鹿群沒人管，經常大搖大擺地走到當地人後院，散步、吃草。
張益唐於是就一邊抽煙、一邊等着看鹿。這是數學史上歷史性的一刻，鹿沒來，靈感來了。一瞬間，我們老張，在這個很放鬆的狀態下，大腦突然開竅，困擾數學界數百年的孿生質數難題，其中一個關鍵瓶頸，迎刃而解。
一個默默無名了大半輩子潦倒數學講師，就像金庸小說中的掃地僧，只出一招，就破解了武林大敵。傳奇吧？傳奇。張益唐一夜之間，成了全球頂尖數學家。
那麼，他徹底證明這個「孿生質數有無窮多對」的難題了嗎？並沒有，他只證明到：確實存在無限多對質數，每一對的差，小於7000萬。
7000萬？那不也是很多嗎？不。從「任何上限都證不出」到證明出「存在無限多對質數，其距離小於7000萬」，是歷史性的一步，是從0到1；從7000萬再往下縮小到「存在無限多對質數，其距離就相差2」，只是從1到100。張益唐的成就轟動全球，隨後，陶哲軒，又是他，在世最偉大數學家、公認的一哥，武林盟主，發起全球數學家線上協作，打車輪戰、接力賽，把7000萬一路往下壓縮，目前壓到了多少？壓到了246。
離「2」的終點，眼看就這麼近，但，又卡住了。
你看，哥德巴赫猜想，也是這麼一路壓縮，從「9+9」，一路壓到「1+2」，難住了；孿生質數猜想，從7000萬，壓到246，也難住了。聰明的你，是不是已經發現線索了？這兩個難，是不是同一個難呢？
咱們再賣個關子，繼續第四題，第四題，咱們不玩質數了，玩積木。這道是給所有認為「我數學不行但我空間感好」的觀眾的。
想像一塊磚，對，就是那種磚，蓋房子那種，有長、寬、高，還有兩種「對角線」：三個面上各有一條面對角線，再加一條從頂角穿到底角、貫穿磚頭內部的體對角線。
請聽題：能不能造出一塊磚，長寬高、三條面對角線、一條體對角線，這七個長度，全部是整數？
題目就這麼一句話，簡單吧？小學生都能聽得懂。那我們來找找答案試試。
差不多300年前，人們找到了一個接近的答案：1719年，有人發現，這磚的長寬高，分別取44、117、240，三條面對角線就可以全部得到整數。這種磚叫「歐拉磚」，對，就是剛才我們碰到過的那位歐拉，人類歷史上與阿基米德、牛頓、高斯齊名的四大數學家之一。但很可惜，最後那條穿心的體對角線，差一口氣，不是整數。
三百年來，無數人手算、後來電腦算，滿足條件的完美歐拉磚，也叫完美長方體，一塊都沒找到。
同樣最氣人是，人類至今沒找到，所以無法證明它是不是真的存在，但同時，又無法證明它不存在，搞不好某幾個超級超級大的數，突然就符合了呢。
聽着是不是很耳熟？聰明的你一定想到了，這不又回到我們開頭那第一道難題：考拉茲猜想，也叫冰雹猜想，同樣也是無法窮盡所有數字，一樣的遭遇了嗎？
快馬加鞭，我們來到最後一題，這道題更簡單，連數字都不需要，一根橡皮筋就能講清楚。
在紙上隨手畫一條閉合曲線，什麼形狀都行，圓也好，歪歪扭扭，像個苦瓜也好，鬼畫符也罷，只要頭尾相接、不自己打結比如不能畫成「8」字形或蝴蝶結。問題：這條曲線上，是否一定能找到4個點，恰好構成一個正方形？
這道題，1911年德國數學家奧托·托普利茨（Otto Toeplitz）提出，叫內接正方形問題Inscribed Square Problem。你試試看，畫個圓，顯然可以；畫個三角形，也可以；畫個盡量刁鑽的，你會發現，也能找到。一百多年來，數學家證明了：只要你的曲線足夠「光滑」，不帶那種無限尖銳的毛刺，裏頭的正方形一定存在。2020年還有個漂亮的進展，這次，陶哲軒，對，又是他，哪哪都有他，和另一位夥伴，證明了光滑曲線上不僅有正方形，而且任何比例的長方形都找得到。
到2026年，這道題已經完成99%了，哪怕是那種極度瘋狂、無處不可微的「碎形曲線」，例如科赫雪花、甚至某些邊界極其模糊的豪斯多夫圖形，也被證明出來了。
那還剩什麼？只剩下數學定義中最極端、最不講道理的「病態連續曲線」（Pathological Continuous Curves）。這類曲線在數學上存在，但在現實中根本畫不出來，它們稠密到像迷霧一樣充滿平面，卻又沒有任何局部的幾何走向。
這五道難題，為什麼說到底，其實是同一個難題？
你看，五道題，卡死人類的地方，驚人地一致，就兩條。
第一條：「所有」和「無限」。五道題問的全是「所有數」「所有偶數」「所有曲線」「無限多」。而人類手裏最強的工具，超級計算機，本質上只會做一件事：一個一個檢查，哪怕驗證29萬億億個，都只邁出了一小步，後面還有無限多個。要跨過這個不講道理的無限，只能靠證明，而證明需要看穿結構，人類目前的思考方式和數學工具，還做不到看穿結構。
第二條，也是質數、孿生質數，這三兄弟的共同難題：加減法和乘除法，是兩個完全不同的世界。質數是「除了1和自己以外，不能被其他正整數整除」，除法就是反過來的乘法，也就是說，質數是由「乘除法」來定義。可是哥德巴赫呢，偏偏跑去問：質數怎麼「加」，孿生質數問題，問的也是質數之間「差」多少，也就是質數怎麼「減」，考拉茲猜想冰雹猜想更絕，「乘三還加一」，先一步乘法後一步加法，反覆橫跳。人類的數學，單獨處理乘法很強，單獨處理加法也很強，但一道題只要同時橫跨「加減法」和「乘除法」兩個世界，人類現有的工具就不夠用。陳景潤窮盡畢生精力證明了「1+2」、張益唐陶哲軒壓縮到246，已經把現有工具用到極限了，而最後那一步，等的可能不是更聰明的人，而是一種還沒被發明出來的數學思維。
所以這五道難題，也是五根探針，它們共同指向了一塊人類至今還沒有到達的數學大陸。
最後是彩蛋環節。今天的選題有個標準：題面必須讓二年級小學生也能聽懂。所以，有一道大名鼎鼎的難題，就被這個標準淘汰了，那就是黎曼猜想，數學界公認的第一懸案，它懸賞金額更高，一百萬美元。它難到什麼程度？連「聽懂題目」本身，都是一道難題。
但是呢，人類智慧還是很厲害的，別以為百年老題永遠打不動，三維掛谷猜想，就被一位年輕的華人數學家王虹攻破了。她也在今年7月獲得了國際數學家大會頒發的菲爾茲獎，成為首位獲此殊榮的中國女數學家。
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